群论小测试

本题考查群论的基本概念。

给了群的乘法表，让你输入这是哪个群。

下面我们简单讲讲抽象代数，希望在解答这个题的同时，也能带你形象地入门抽象代数。

群在描述某一种对称。比如循环群 $C_{n}$ 里面一个元素直接 $a$ 通过群的运算就可以生成整个群。

{e, a, a^{2}, \dots, a^{n - 1}}

就比如我们只考虑正三角形的旋转。它顺时针旋转 $2 π / 3$ 的操作记作 $a$ ，我们把 $a$ 操作两次写成 $a \cdot a = a^{2}$ ，这个效果就是顺时针旋转 $4 π / 3$ ，我们可以记作 $b$ 。我们再让 $a$ 操作一次，就得到 $a^{3}$ ，它的效果是顺时针旋转 $2 π$ ，实际上约等于没转，我们可以记作 $e$ ，这样我们就得到了关于三角形旋转的群 ${e, a, b}$ 。

其中，群的运算是对三角形旋转操作的复合， $e$ 是恒等元，它相当于“没动”。观察发现， $e, a, b$ 无论怎么复合操作，结果都是这个集合的元素之一。而且每个元素从效果上看，都有它的“逆”，比如操作 $a$ 的逆是操作 $b$ ，因为 $a b = e$ 。

这样我们就得到了一个三阶循环群 $C_{3}$ 。

而如果我们把群的运算改成模 $3$ 加，元素改为 ${0, 1, 2}$ ，这样我们就得到了 $Z_{3}$ ，也就是模 $3$ 整数群。很显然它和 $C_{3}$ 几乎没什么区别。

接着我们给正三角形三个角逆时针标上数字 $1, 2, 3$ ，上面讲的操作 $a$ 其实可以看成三个角换了位置，即原来的 $1$ 号角变成了 $2$ 号角，也就是 $1 \to 2 \to 3 \to 1$ 。我们可以记成 $(123)$ ，这是一种被称为轮换的记法。它表示一个置换： $1$ 号位置去到 $2$ 号位置， $2$ 号去到 $3$ 号位置， $3$ 号回到 $1$ 号位置。

我们之前只考虑了正三角形的旋转，但一个正三角形的对称操作还包括反射（翻转）。想象一下，沿着穿过一个顶点和对边中点的直线把三角形翻过来。

恒等操作（不动）： $e$
顺时针旋转 $120^{\circ}$ ： $(123)$
顺时针旋转 $240^{\circ}$ （或逆时针 $120^{\circ}$ ）： $(132)$
沿着穿过 $1$ 号角的轴翻转：这会交换 $2$ 号和 $3$ 号角，记作 $(23)$
沿着穿过 $2$ 号角的轴翻转：交换 $1$ 号和 $3$ 号角，记作 $(13)$
沿着穿过 $3$ 号角的轴翻转：交换 $1$ 号和 $2$ 号角，记作 $(12)$

这 6 个操作全部放在一起，就构成了正三角形的完全对称群，我们称之为 $3$ 阶对称群，记作 $S_{3}$ 。

S_{3} = {e, (123), (132), (12), (13), (23)}

这里的群运算是置换的复合（先做一个操作，再做另一个）。

一个有限群的结构可以很清晰地用一个乘法表（也叫凯莱表）来表示。下面是 $S_{3}$ 的乘法表。表中的元素是“行操作 $\cdot$ 列操作”的结果。

$\cdot$	$e$	$(123)$	$(132)$	$(12)$	$(13)$	$(23)$
$e$	$e$	$(123)$	$(132)$	$(12)$	$(13)$	$(23)$
$(123)$	$(123)$	$(132)$	$e$	$(13)$	$(23)$	$(12)$
$(132)$	$(132)$	$e$	$(123)$	$(23)$	$(12)$	$(13)$
$(12)$	$(12)$	$(23)$	$(13)$	$e$	$(132)$	$(123)$
$(13)$	$(13)$	$(12)$	$(23)$	$(123)$	$e$	$(132)$
$(23)$	$(23)$	$(13)$	$(12)$	$(132)$	$(123)$	$e$

观察：仔细看这个表，你会发现它不是沿对角线对称的。例如， $(123) \cdot (12) = (13)$ ，但是 $(12) \cdot (123) = (23)$ 。这说明操作的顺序很重要！

如果一个群中任意两个元素 $a, b$ 都满足 $a \cdot b = b \cdot a$ ，我们就称这个群为阿贝尔群，也叫交换群。

我们之前遇到的循环群 $C_{3} = {e, a, b}$ 就是阿贝尔群，因为 $a \cdot b = b \cdot a = e$ 。
模 $3$ 整数群 $Z_{3}$ 也是阿贝尔群，因为普通加法满足交换律 $(1 + 2 = 2 + 1)$ 。
但是，对称群 $S_{3}$ 不是阿贝尔群，正如我们从乘法表中看到的。

我们之前说 $C_{3}$ 和 $Z_{3}$ “几乎没什么区别”。现在我们可以把这个概念精确化。如果两个群 $(G, \cdot)$ 和 $(H, *)$ 之间存在一个一一对应的映射 $f : G \to H$ ，并且这个映射能完美地保持运算关系，即对于任意 $g_{1}, g_{2} \in G$ ，都有

f (g_{1} \cdot g_{2}) = f (g_{1}) \* f (g_{2})

那么我们就说这两个群是同构的，记作 $G ≅ H$ 。 “同构”意味着这两个群拥有完全相同的结构，只是元素的“名字”和运算的“符号”不同。对于 $C_{3}$ 和 $Z_{3}$ ，我们可以建立如下映射：

e \mapsto 0; a \mapsto 1; b \mapsto 2

我们来验证一下：

$a \cdot b = e$ 映射到 $1 + 2 = 0$ （模 3 加法）
$a \cdot a = b$ 映射到 $1 + 1 = 2$
$b \cdot b = a$ 映射到 $2 + 2 = 1$

所有关系都完美对应，所以 $C_{3} ≅ Z_{3}$ 。群论研究的正是这种抽象的结构，而不是元素的具体形式。

让我们看一个不是循环群的阿贝尔群。考虑一个长方形（非正方形）的对称性：

$e$ ：恒等操作（不动）
$h$ ：沿水平中线翻转
$v$ ：沿垂直中线翻转
$r$ ：绕中心旋转 $180^{\circ}$

这四个操作构成一个群，我们称之为 Klein 4元群，记作 $V_{4}$ 。

它的乘法表如下：

$\cdot$	$e$	$h$	$v$	$r$
$e$	$e$	$h$	$v$	$r$
$h$	$h$	$e$	$r$	$v$
$v$	$v$	$r$	$e$	$h$
$r$	$r$	$v$	$h$	$e$

这个表是沿对角线对称的，所以 $V_{4}$ 是阿贝尔群。但你找不到任何一个元素（除了 $e$ ）能通过自身运算生成整个群，所以它不是循环群。

在对称群 $S_{n}$ 中，有些置换可以表示为偶数个“对换”（比如只交换两个位置的置换，如 $(12)$ ）的复合，有些则可以表示为奇数个对换的复合。

偶置换：如 $(123) = (13) (12)$ ，是两个对换的复合。
奇置换：如 $(12)$ ，自身就是一个对换。

所有偶置换的集合本身也构成一个群，它是 $S_{n}$ 的一个子群，称为交错群，记作 $A_{n}$ 。对于 $S_{3}$ ，偶置换有 ${e, (123), (132)}$ 。这正是我们熟悉的 $C_{3}$ 的结构！所以， $A_{3} ≅ C_{3}$ 。

我们可以用已知的群来构造新的群，最简单的方法就是直积。

假设我们有两个群 $G$ 和 $H$ ，它们的直积 $G \times H$ 是一个新群，其元素是 $(g, h)$ 这样的有序对，其中 $g \in G, h \in H$ 。运算定义为按分量进行：

(g_{1}, h_{1}) \cdot (g_{2}, h_{2}) = (g_{1} \cdot g_{2}, h_{1} \cdot h_{2})

让我们用最简单的非平凡群 $C_{2} = {0, 1}$ （模 $2$ 加法）来构造直积 $C_{2} \times C_{2}$ 。

它的元素是： ${(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}$ 。

它的运算表是：

$+_{2}$	$(0, 0)$	$(0, 1)$	$(1, 0)$	$(1, 1)$
$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(0, 1)$	$(1, 0)$	$(1, 1)$
$(0, 1)$	$(0, 1)$	$(0, 0)$	$(1, 1)$	$(1, 0)$
$(1, 0)$	$(1, 0)$	$(1, 1)$	$(0, 0)$	$(0, 1)$
$(1, 1)$	$(1, 1)$	$(1, 0)$	$(0, 1)$	$(0, 0)$

这个结构是不是很眼熟？如果我们做一个映射：

(0, 0) \mapsto e; (1, 0) \mapsto h; (0, 1) \mapsto v; (1, 1) \mapsto r

你会发现这个表和 Klein 4元群 $V_{4}$ 的乘法表完全一样！因此，我们得到了一个重要的结论：

V_{4} ≅ C_{2} \times C_{2}

这展示了不同概念之间的深刻联系：一个描述几何对称的群（ $V_{4}$ ），其结构等价于两个最简单的代数群（ $C_{2}$ ）的直积。

还有其他很多很多的群，比如 $D_{4}, Q_{8}$ ，就留给你自己去探索啦。

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